「たぶん」を数にする：確率とベイズの法則

「たぶん雨」を数にする

明日雨が降るかは事前に断言できません。AIはこうした不確実さを、0から1の確率で表します。

0は絶対に起きない、1は必ず起きる。サイコロで1の目が出る確率は1/6です。

手がかりがないときの確率

ヒントがないときの確率が事前確率です。10日のうち3日雨が降る町なら、明日の雨の事前確率は $P(\text{雨}) = 0.3$ になります。

サイコロを1回振ったとき、1から6のどれかの目が出る確率はいくつでしょう？

問題：サイコロを1回振ったとき、1から6のどれかの目が出る確率はいくつでしょう？

1. 1（正解）
2. 1/6
3. 0.5

解説：どれかの目は必ず出るので、必ず起きることを表す1です。1/6は「1の目」など、1つの目だけが出る確率です。

手がかりで確率が変わる

雨の確率30%の町でも、朝の空が真っ暗なら見込みは変わります。手がかりBを知ったあとのAの確率を条件付き確率といい、$P(A|B)$ と書きます。

確率メーターの動き

雨の確率30%からスタートします。手がかりを押して、上がるヒントと下がるヒントを見比べましょう。

朝に黒い雲を見たあとの「午後に雨が降る確率」を表す書き方はどれでしょう？

問題：朝に黒い雲を見たあとの「午後に雨が降る確率」を表す書き方はどれでしょう？

1. $P(\text{雨} | \text{黒い雲})$（正解）
2. $P(\text{黒い雲} | \text{雨})$
3. $P(\text{雨})$

解説：縦線の右が、すでに知っている手がかりです。黒い雲を見たあとなので、右に黒い雲、左に雨を置きます。逆向きの書き方は「雨の日に黒い雲が出ている確率」で、別の数です。

向きを逆にする式

「雨の日の朝に曇る割合」は記録からわかります。知りたいのは逆の「曇った朝に雨が降る確率」です。

この向きを逆にする式がベイズの法則です。$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

曇った朝の雨は20%

CS50の例です。雨の朝は80%が曇り、雨の日は全体の10%、曇りの朝は40%。$0.8 \times 0.1 \div 0.4 = 0.2$ で、曇った朝に雨が降る確率は20%です。

迷惑メールは全体の10%。迷惑メールの80%が「無料」を含み、「無料」を含むメールは全体の16%です。「無料」を含むメールが迷惑メールである確率は？

問題：迷惑メールは全体の10%。迷惑メールの80%が「無料」を含み、「無料」を含むメールは全体の16%です。「無料」を含むメールが迷惑メールである確率は？

1. 50%（正解）
2. 80%
3. 10%

解説：ベイズの法則で 0.8×0.1÷0.16=0.5、つまり50%です。80%は迷惑メールのうち「無料」を含む割合で、向きが逆。10%は手がかりを入れる前の事前確率です。

1000人の村で検査する

1000人に10人がかかる病気の検査です。陽性と出た人のうち、本当に病気の人が何%か予想してみましょう。

陽性98人のうち、病気は9人

1000人中病気は10人。検査は病気の9人と健康な990人の9%（89人）を陽性にします。陽性98人中本当の病気は9人で約9%です。

珍しさが答えを決める

陽性に健康な人が多いのは元々1%しかいないからです。この割合を基準率と呼びます。精度だけで判断する思い込みが基準率の錯覚です。

○か✕か

○か✕か：病気の人の90%を陽性にする検査で陽性が出たら、病気がどれほど珍しくても、病気である確率はおよそ90%だ。

答え：✕。1000人中10人の病気なら、陽性98人のうち病気は9人で約9%です。健康な人が多いぶん、誤った陽性が数で上回ります。

病気の人の90%と健康な人の9%を陽性にする検査を、1000人中10人が病気の村と、1000人中300人が病気の村で使います。陽性の人が本当に病気である割合が高いのは？

問題：病気の人の90%と健康な人の9%を陽性にする検査を、1000人中10人が病気の村と、1000人中300人が病気の村で使います。陽性の人が本当に病気である割合が高いのは？

1. 300人が病気の村（正解）
2. 10人が病気の村
3. どちらも同じ90%

解説：300人が病気の村では、陽性333人のうち270人、約81%が本当に病気です。検査の精度が同じでも、基準率が高いと本当の陽性が誤りを上回ります。

答えは、次の出発点になる

ヒントをもとに計算し直した確率を事後確率といい、曇った朝の雨の確率は10%から20%に上がりました。

新たな手がかりが来たら、この20%を新しい事前確率にして計算を重ねます。

○か✕か

○か✕か：一度計算した事後確率は最終的な答えなので、次の手がかりが来ても計算には使わない。

答え：✕。事後確率は、次の手がかりを入れるときの事前確率になります。曇った朝に20%になった雨の確率も、次の手がかりでまた書き換わります。

「たぶん」の書き換え方

• 起こりやすさを0〜1の確率で持つ。手がかりがないときの値が事前確率
• 手がかりBを知ったら、条件付き確率 $P(A|B)$ に書き換える
• ベイズの法則で、数えやすい $P(B|A)$ から知りたい $P(A|B)$ を逆算する
• 基準率を忘れずに入れ、出た事後確率を次の事前確率にする

珍しい病気の検査で陽性が出た人が、本当に病気である確率を見積もります。検査の精度のほかに、欠かせない数はどれでしょう？

問題：珍しい病気の検査で陽性が出た人が、本当に病気である確率を見積もります。検査の精度のほかに、欠かせない数はどれでしょう？

1. その病気の人がもともといる割合（正解）
2. その日に検査を受けた人の合計
3. 同じ検査をくり返した回数

解説：元の割合は、ベイズの法則で事前確率として計算に入ります。では、雨や事故が電車を遅らせ、電車の遅れが遅刻を呼ぶように、手がかりどうしがつながっていたら？次は出来事のつながりを矢印の網で表し、あいまいなセンサーだけでロボットが自分の居場所を絞り込む仕組みを見ます。